第41章 中专少女姜如烟与龙傲天——竞赛的开始13

随着数理巴巴全球数学竞赛的初赛开始，姜如烟走到电脑前坐下，深吸了一口气，然后平复自己的心情。 整个考试在线上进行，试卷题目有七题，姜如烟迅速浏览了一遍题目，然后开始了解题。【问题1 ，几位同学假期组成一个小组去某市旅游，该市有6座塔，它们的位置分别为a, b,c,d,e, f同学们自由行动一段时间后，每位同学都发现，自己在所在的位置只能看到位于a,b,c,d处的四座塔，而看不到位于e和f的塔已知 (1)同学们的位置和塔的位置均视为同一平面上的点，且这些点彼此不重合;(2) a,b,c,d,e,f中任意3点不共线; (3)看不到塔的唯一可能就是视线被其它的塔所阻挡，例如，如果某位同学所在的位置p 和a,b共线，且a在线段pb上，那么该同学就看不到位于b处的塔请问，这个旅游小组最多可能有多少名同学?(a) 3 (b) 4 ( 6 (d) 12 】 姜如烟的大脑在数之气的强化下，变得异常敏锐。她迅速地分析着题目中的条件，将复杂的文字信息转化为几何图形和逻辑关系。 “首先，每位同学都看不到e和f两座塔，这意味着他们的视线被a、b、c、d四座塔中的至少两座所阻挡。”姜如烟在心中构建起这个问题的几何模型。 她继续推理：“由于任意三座塔不共线，e和f两座塔的视线被不同的塔阻挡，所以每位同学的位置必然位于由a、b、c、d四座塔构成的某些特定直线的延长线上。” 姜如烟在脑海中画出了ea和fb的延长线，以及eb和fa的延长线。她意识到，如果ea和fb的延长线相交，那么这个交点将决定一位同学的位置。同理，eb和fa的延长线相交也会决定另一位同学的位置。 “但是，由于a、b、c、d四座塔不共线，ea和fb的延长线相交，以及eb和fa的延长线相交，都将位于这四座塔构成的凸四边形的内部。”姜如烟继续分析，“这意味着，对于任意两座塔，最多只能有一位同学的视线被它们阻挡。” 她进一步思考：“在a、b、c、d四座塔中任取两座塔，有c(4,2)=6种组合方式，所以理论上最多可以有6位同学，他们的位置分别位于这6种组合的交点上。” 姜如烟的脑海中浮现出了一个图形，其中有6个点p、q、r、s、t、u，分别位于ea和fb、eb和fa延长线的交点上。这些点代表了同学们的位置，每一位都能看到a、b、c、d四座塔，而看不到e和f两座塔。 “因此，这个旅游小组最多可能有6名同学。”姜如烟得出了结论，并在答题卡上选择了答案(c)。 通过数之气的辅助，姜如烟不仅成功解决了这个复杂的几何问题，而且她对数之气的控制和应用也更加熟练。她知道，随着自己在数之气修炼上的不断进步，未来将能够应对更多高难度的数学挑战。 龙傲天在考场的另一角落，感受到了姜如烟数之气的波动，他的嘴角露出了一丝微笑。 姜如烟的目光在问题2上仔细扫过，她的大脑在数之气的辅助下迅速运转 。 【小明玩战机游戏。初始积分为2。 在游戏进行中，积分会随着时间线性地连续减少(速率为每单位时间段扣除1)。 游戏开始后，每隔一个随机时间段(时长为互相独立的参数为1的指数分布)，就会有一架敌机出现在屏幕上。 当敌机出现时，小明立即进行操作，可以瞬间击落对方，或者瞬间被对方击落。 如被敌机击落，则游戏结束。 如小明击落敌机，则会获得15个积分，并且可以选择在击落该次敌机后立即退出游戏，或者继续游戏。 如选择继续游戏，则须等待到下一架敌机出现，中途不能主动退出。游戏的难度不断递增:出现的第n架敌机，小明击落对方的概率为(085)的n次方”，被击落的概率为1-(085的n次方）”，且与之前的事件独立。在任何时刻，如果积分降到0，则游戏自动结束。 姜如烟看到问题部分: (1)如果游戏中，小明被击落后，其之前的积分保持。那么为了游戏结束时的累积积分的数学期望最大化，小明应该在其击落第几架敌机后主动结束游戏?(a) 1(b) 2(c) 3(d)4 (2)假设游戏中，小明被击落后，其之前积累的积分会清零。那么为了结束时的期望积分最大化，小明也会选择一个最优的时间主动结束游戏。请问在游戏结束时(小明主动结束、或积分减到0)，下列哪一个选项最接近游戏结束时小明 期望积分?(a) 2(b) 4(c) 6(d)8 】 姜如烟详细思考后，给出答案2 敌机的出现是一个参数为1的泊松点过程(如需避免连续时间随机过程，这里也可用指数分布的无记忆性)。在任意时刻，每进行一个单位时间段，小明减少的积分为1。在击落每架敌机后，小明增加的积分为15。在这之后，每进行一个单位时间段，小明击落敌机的期望收益为15 x(085)n”。 (1)在这种情况下，被敌机击落的期望损失为0。那么我们选择最大的n，使得15 x(085)n”＞ 1，即n=2。小明在击落第2架敌机时主动结束游戏。因此选(b) (2)假设击落第n-1架敌机后，小明所拥有的积分为t。如选择继续等待到下一架敌机出现后结束游戏，积分的数学期望为 (085)n (t +05 x (1 - e-t)) (1) 当n=1且t≤2时，上式总是大于t。因此小明至少要等到第一架敌机出现。假如小明击落了第一架敌机，那么其手中积分至少为15。当n=2且t＞15时，(1)总是小于t。因此，假设小明已经击落了第一架敌机，那么选择“立即结束游戏”总是优于“击落第二架敌机后立即结束”。由第一问可知，无论小明现有积分为多少，其最优结束时间都应该不晚于击落第二架敌机。综上可得，小明的最优策略为:等待第一架敌机出现，将其击落后立即结束游戏。 在此策略下，小明最终积分的期望应为(1)式在n=1及t=2时的值，约为2067最接近的选项为(a) 姜如烟的目光在战机游戏的问题上仔细扫过，她的大脑在数之气的辅助下迅速运转。 她知道，要解决这个问题，需要深入分析概率模型和期望值。 小明的战机游戏是一个典型的随机过程问题，其中积分随时间连续减少，而敌机出现的时间间隔遵循指数分布。每次击落敌机，小明的积分增加15，但随着敌机数量的增加，击落敌机的概率逐渐降低。 (1)对于第一个问题，小明被击落后积分保持不变。 姜如烟分析，小明需要在击落一定数量的敌机后退出游戏以最大化期望积分。 她运用数之气强化自己的逻辑推理能力，计算出在击落第二架敌机后主动结束游戏将使期望积分最大化。 这是因为在第二次击落后，继续游戏的潜在收益不再超过积分减少的速率。因此，答案是(b)。 (2)对于第二个问题，小明被击落后积分清零，这改变了他的决策逻辑。 姜如烟再次运用数之气，构建了一个复杂的数学模型来计算小明的最优策略。 她发现，小明应该在击落第一架敌机后立即退出游戏，因为在这种情况下，期望积分最高，且风险最小。 她将这个策略下的期望积分代入公式计算，得出了一个接近2067的值，选择了最接近的选项(a)。 随着竞赛的深入，姜如烟面对的题目难度越来越大，她知道这些题目需要她运用数之气的具现化技巧来克服。 她闭上眼睛，深呼吸，让自己的心灵沉浸在一片宁静之中。 随后，她开始集中精神，将那些复杂的数学问题在脑海中具现化。 每道题目都转化成了一只只形态各异的怪物，它们或是数学符号的扭曲形态，或是几何图形的奇异组合，每一只都散发着挑战的气息。 这些怪物在她的意识空间中咆哮、盘旋，等待着她的应对。 姜如烟知道，这将是一场智力与精神的较量。

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